การเเก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและกราฟ

ตัวอย่าง 1   จงเขียนกราฟของสมการ  2x – y    = 0    และ  กราฟของสมการ 2x – y + 3  = 0
                    จากสมการ   2x – y    =  0                     และ จากสมการ             2x + 3   =  y
                    จะได้                  2x    =  y                                                                    y  =  2x +  3
สมการ y = 2x   ( a = 2  , b = 0 )                                         สมการ  y = 2x – 6   ( a = 2 , b = 3 )

x
y =  2x

y

( x,y )

 

x

y = 2x + 3

y

( x,y )

– 1

y =  2(-1 )

– 2

(-1,-2)

– 1

y = 2( -1 ) + 3

1

(-1,1)

0

y =  2(0)

0

(0,0)

0

y = 2 (0) + 3

3

(0,3)

1

y =   2(1)

2

(1,2)

1

y = 2(1) + 3

5

(1,5)

 


จากตัวอย่างที่ 1  กรณีที่ 3   เมื่อ A ≠ 0  และ  B ≠  0      สรุปได้ว่า
( 1 )  ถ้า a > 0  และ  b = 0  จะได้กราฟเส้นตรงผ่านจุด ( 0 , 0 ) ทำมุมแหลมกับแกน X  เมื่อวัด
ทวนเข็มนาฬิกา จากแกน X  ไปยังเส้นตรงนั้น  ถ้าค่าของ a มาก ค่าของมุมแหลมจะมากตามด้วย
( 2 )  ถ้า a > 0  และ  b ≠ 0  จะได้กราฟเส้นตรงตัดแกน Y  ที่จุด ( 0 , b ) ทำมุมแหลมกับแกน X 
เมื่อวัดทวนเข็มนาฬิกา จากแกน X ไปยังเส้นตรงนั้น ถ้าค่าของ a มาก ค่าของมุมแหลมจะมาก
ตามด้วย
( 3 ) กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สองสมการในรูป  และ   
เมื่อ   ,  และ   เป็นค่าคงตัว   โดยใช้แกนคู่เดียวกัน
       ถ้าสัมประสิทธิ์ของ x  ของสมการทั้งสองเท่ากัน  (ก็ต่อเมื่อ กราฟทั้งสองของสมการเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน

ตัวอย่าง 2   จงเขียนกราฟของสมการ  2x + y    = 0    และ  กราฟของสมการ 2x + y + 3  = 0
                   จากสมการ   3x + y    =  0                     และ จากสมการ        2x + y + 3  =  0  
                   จะได้                    y    =  – 3x                                                              y   =  – 2x – 3
สมการ y = – 2x   ( a = – 3  , b = 0 )                          สมการ  y = – 2x – 3  

( a = – 2 , b = – 3 )

x
y = – 3x

y

( x,y )

 

x

y = – 2x + 3

y

( x,y )

– 1

y =  – 3(-1 )

3

(-1, 3)

– 1

y = – 2( -1 ) + 3

5

(-1,5)

0

y =  – 3(0)

0

(0,0)

0

y = – 2 (0) + 3

3

(0,3)

1

y =   -3(1)

– 3

(1,- 3)

1

y = – 2(1) + 3

1

(1,1)


จากตัวอย่างที่ 2 สรุปได้ว่า
( 1 )   ถ้า a < 0  และ  b = 0  จะได้กราฟเส้นตรงผ่านจุด ( 0 , 0 ) ทำมุมป้านกับแกน X  เมื่อวัด
ทวนเข็มนาฬิกา จากแกน X ไปยังเส้นตรงนั้น  ถ้าค่าของ a มาก ค่าของมุมป้านจะมากตามด้วย
( 2 )   ถ้า a < 0  และ  b ≠ 0  จะได้กราฟเส้นตรงตัดแกน Y  ที่จุด ( 0 , b ) ทำมุมป้านกับแกน X 
เมื่อวัดทวนเข็มนาฬิกา จากแกน X ไปยังเส้นตรงนั้น ถ้าค่าของ a มาก ค่าของมุมป้านจะมาก
ตามด้วย

( 3 ) กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สองสมการในรูป  และ   
เมื่อ    ,  และ   เป็นค่าคงตัว   โดยใช้แกนคู่เดียวกัน
       ถ้าสัมประสิทธิ์ของ x ของสมการทั้งสองเท่ากัน  (ก็ต่อเมื่อ กราฟทั้งสองของสมการเป็นเส้นตรงที่ตัดกัน

พิจารณาประโยค  2  ประโยค ต่อไปนี้
ประโยคที่ ( 1 ) “ น้องพากเพียรมีเสื้อและกางเกงรวมกัน 10 ตัว “
ประโยคที่ ( 2 ) “ น้องพากเพียรมีจำนวนเสื้อเป็นสี่เท่าของจำนวนกางเกง “ 
จากประโยคที่ ( 2 ) แสดงว่ามีเสื้อสี่ตัว มีกางเกงหนึ่งตัว  รวมเป็นห้าตัว
ดังนั้น น้องพากเพียรมีกางเกง    ตัว   และน้องพากเพียรมีเสื้อ  2  4 = 8  ตัว
ถ้าเราทราบประโยคที่ ( 1 )  หรือประโยคที่ ( 2 ) เพียงประโยคเดียว  เราไม่สามารถบอกได้แน่นอนว่าน้องพากเพียรมีเสื้อกับกางเกงอย่างละกี่ตัว  แต่ถ้าทราบทั้ง 2 ประโยค เราสามารถบอกได้แน่นอน
                กำหนดให้ x  แทนจำนวนเสื้อของน้องพากเพียร
                                y  แทนจำนวนกางเกงของน้องพากเพียร
และ x , y  แทนจำนวนนับ
จากประโยคที่ ( 1 )  เขียนสมการได้เป็น
                x + y   =  10   …………………………………. ( 1 )
จากประโยคที่ ( 2 )  เขียนสมการได้เป็น
                     x    =   4y   …………………………………. ( 2 )
เราเรียก   { x + y   =  10      ว่าระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
                        x     =   4y
ให้      เป็นคำตอบของสมการ   x + y   =  10    เมื่อ  x , y   แทนจำนวนนับ
ดังนั้น  คำตอบประกอบด้วยคู่อันดับ (1,9) , (2,8) , (3,7) , (4,6) , (5,5) , (6,5) , (7,3) , (8,2) , (9,1) 
เขียนตารางแสดงค่า  x   และ  y  ที่เป็นคำตอบของสมการ ( 2 )  คือ  x  =   4y  
เมื่อ  x , y   แทนจำนวนนับ  จะได้ดังนี้

 
x

4

8

12

16

20

24

y

1

2

3

4

5

6

 

ดังนั้น    คำตอบประกอบด้วยคู่อันดับ   (4,1) , (8,2) , (12,3) , (16,4) , (20,5) , (24,6) , … 
จะเห็นว่า  จะประกอบด้วยคู่อันดับอื่น ๆ อีกมาก เช่น  ( 100 , 25 ) , (416 , 104 )  เป็นต้น
จากสมการ            x + y   =  10   …………………………………. ( 1 )
                                 x    =   4y   …………………………………. ( 2 )
เราต้องการหาคู่อันดับ (x, y)  ที่เป็นคำตอบทั้งของสมการ ( 1 ) และสมการ ( 2 )
การหาคู่อันดับ ( x, y )  ดังกล่าวนี้  เรียกว่า  การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
                ให้     เป็นคำตอบของสมการ  ( 1 )
                ให้     เป็นคำตอบของสมการ  ( 2 )
ถ้าต้องการหาคู่อันดับที่เป็นทั้งคำตอบของสมการ ( 1 ) และ สมการ  ( 2 )  ก็คือ ต้องหาคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของทั้ง   และ    นั่นเอง
จาก   คำตอบประกอบด้วยคู่อันดับ (1,9) , (2,8) , (3,7) , (4,6) , (5,5) , (6,5) , (7,3) , (8,2) , (9,1) 
และ   คำตอบประกอบด้วยคู่อันดับ      (4,1) , (8,2) , (12,3) , (16,4) , (20,5) , (24,6) , … 
จะเห็นว่า  ( 8 , 2 )  เป็นคู่อันดับเพียงคู่เดียวที่เป็นสมาชิกของทั้ง    และ   
ดังนั้น  ( 8 , 2 )  เป็นคำตอบของสมการทั้งสองนี้
คำตอบของโจทย์ข้อนี้ คือ น้องพากเพียรมีเสื้อ 8  ตัว  และมีกางเกง  2 ตัว
ถ้าเขียนกราฟของ   และ   โดยใช้แกนคู่เดียวกัน กราฟทั้งสองจะตัดกันที่จุด ( 8 , 2 )   ดังนี้
                ให้  แทนจุดต่าง ๆ ที่เป็นสมาชิกคู่อันดับของ
                     แทนจุดต่าง ๆ ที่เป็นสมาชิกคู่อันดับของ

         ให้  a, b, c, d, e และ f   เป็นจำนวนจริงที่ a, b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน  และ c, d
ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน  เรียกระบบที่ประกอบด้วยสมการ
                                        ax + by  =  e
                                        cx + dy  =  f
ว่าระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี   x และ y  แทนตัวแปร
กล่าวว่า  a  และ  c  เป็นสัมประสิทธิ์ของ x
               b  และ d  เป็นสัมประสิทธิ์ของ y
คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร  คือ คู่อันดับ ( x , y ) ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสองของระบบสมการหรือ คู่อันดับ ( x , y )  ที่ค่า  x  และค่า  y  ทำให้สมการทั้งสองของระบบสมการ
เป็นจริง    
 

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s